\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
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\usepackage{verbatim}
\usepackage{makecell}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}
	\section{球面面积/体积微元;立体角}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{pic_solidangle}
		\caption{示意图}
		\label{fig:picsolidangle}
	\end{figure}
	
	\footnote{本笔记使用AI辅助。AI说他很不严谨。}
	我们简要讨论立体角。假设在球坐标系中有一个点 $(r,\theta,\phi)$。现在，轻微增加 $\theta$ 和 $\phi$，分别得到 $(r,\theta + \dd \theta,\phi)$ 和 $(r,\theta,\phi + \dd\phi)$。
	这两点与原始点 $(r,\theta,\phi)$ 的两条连线会在球面上围出一个微小的曲面区域。
	当 $\dd \theta$ 和 $\dd \phi$ 足够小时，该区域可近似为一个微小的平面形状（曲线近似为直线）。
	请问这个形状的面积？
	
	略一思索，由于球坐标系的坐标向量局部正交，因此这个形状实则是一个矩形，
	因此只需计算边长的乘积，而无需繁琐的向量叉乘。
	根据题设，这个小矩形的两条边是
	$$\dd u = (r,\theta + \dd \theta,\phi) - (r,\theta,\phi) $$ 
	$$\dd v = (r,\theta,\phi + \dd \phi ) - (r,\theta,\phi) $$
	他的面积自然是
	$$
	\dd A = \dd u \dd v
	$$
	那么，两条边的长度是什么呢？对于$\dd u$，根据弧长与角度的关系：
	$$
	\dd u = r \dd \theta
	$$
	而对于 $\dd v$，稍微复杂一点，我们最好将$\dd v$平移至$x-y$平面中观察，发现：
	$$
	\dd v = (r \sin \theta) \dd \phi
	$$
	因此这个小矩形的面积是
	$$
	\dd A = \dd u \dd v = r^2 \sin \theta \dd \theta \dd \phi
	$$
	可见，在$r$很大时，在$\dd \theta$ “相同”的情况下， $\dd A$ 会很大，这有点类似于“四两拨千斤”的杠杆原理；
	此外，这导致了平面地图（例如直接按$\theta, \phi$展开的地图）上靠近极点地区的“面积”往往会失真，因为$\theta \to 0$时球面的“真实”面积$\dd A \to 0$。
	有时也引入“立体角”的概念：
	$$
	\dd \Omega = \frac{\dd A}{r^2} = \sin \theta \dd \theta \dd \phi
	$$
	
	\newpage
	为了验证上述说法，我们利用这个公式推导球的表面积：
	$$
	\begin{aligned}
		A &= \int \dd A = \int^{\pi}_0 \int^{2\pi}_0 r^2 \sin \theta \dd \theta \dd \phi \\
		&= 2 \pi r^2 (- \cos \theta) \big|^\pi_0 \\
		&= 4 \pi r^2
	\end{aligned}
	$$
	和我们在小学学过的结论是一样的。
	
    顺带一提，我们还可以用类似的方法，计算球面局部的小体积。
    例如，如果还轻微改变$r$，那么我们将得到一个局部的小立方体，他的$\hat r$方向边长为$\dd r$。
	这个小立方体的体积是（仍然由于坐标向量的局部正交性）：
	$$
	\dd V = \dd A \dd r = r^2 \sin \theta \dd \theta \dd \phi \dd r
	$$
	和高数中的球坐标积分，或者我们用Jacobi行列式得到的结果是一样的（这是他的几何含义）。
	同样地，我们计算球的体积：
	$$
	\begin{aligned}
		V &= \int \dd V = \int_0^R \int^{\pi}_0 \int^{2\pi}_0 r^2 \sin \theta \dd \theta \dd \phi \dd r \\
		&= 4 \pi \int^R_0 r^2 \dd r \\
		&= \frac{4}{3} \pi R^3
	\end{aligned}
	$$
	
\end{document}